彈性軟球體在極端壓縮下的變形行為，即“壓扁問題” （flattening problem），廣泛存在于軟體機器人、智能粘附、柔性傳感、摩擦學超表面等多個工程與科學領域（圖1）。在軟體機器人、柔性電子與可穿戴設備中，材料壓縮特性影響著傳感器性能與交互反饋；而在智能界面設計中，軟球的變形亦可用于調控摩擦和增強粘附力。上述應用都要求對彈性軟球體在壓縮下的接觸力和接觸半徑等關鍵變量進行高效、準確的預測。傳統的Hertz理論雖能刻畫小變形下的彈性球體接觸，但在大變形情況下明顯失準。隨著軟材料相關技術的發展，亟需對極端壓縮下的接觸行為進行更為精確的研究與建模。
圖1 壓扁問題的應用背景（包括軟體機器人、智能粘附、柔性傳感、摩擦學超表面）及經典的小變形接觸力學模型（Hertz Theory，灰色虛線）對接觸力的預測偏差（黃色帶圓點實線）。
近日，新加坡南洋理工大學校長講席教授夏焜（K. Jimmy Hsia）、哈爾濱工業大學冷勁松院士、清華大學高華健院士團隊通過理論建模、有限元仿真與實驗系統探討了彈性軟球體在極端壓縮條件下的接觸力學，提出了適用于大變形壓扁問題的解析模型，推導了接觸力、接觸半徑和接觸壓力分布的簡單表達式。研究還發現對于常見彈性軟材料，材料非線性與接觸條件對大變形壓扁問題的影響可近似忽略。
相關研究以“Nonlinear Contact Mechanics of Soft Elastic Spheres Under Extreme Compression“為題發表在固體力學旗艦期刊Journal of the Mechanics and Physics of Solids上。
為了應對傳統的Hertz接觸理論的小變形、線彈性等理想假設在大壓縮情形下不再成立的問題，研究提出了一個適用于大變形的有限變形接觸理論框架，能夠系統考慮兩個關鍵因素：有限厚度效應（finite-thickness effect）和徑向膨脹效應（radial expansion effect）。基于這一理論框架，研究推導出接觸力、接觸半徑和接觸壓力的解析表達式。
研究團隊對彈性軟球體的接觸力與接觸半徑進行了實驗測試。實驗結果表明，在壓縮比高達80%的極端條件下，理論給出的顯式表達式結果與實驗結果高度一致，顯示出優異的預測能力，如圖2所示。
圖2 接觸力和接觸半徑解析表達式的實驗驗證。(a)本研究的解析表達式預測的接觸力（橙色實線）與實驗結果（藍色圓形）的對比。(b)本研究的解析表達式預測的接觸半徑（橙色實線）與實驗測量結果（藍色圓形）的對比。圖中還包括Hertz理論（灰色虛線）和Tatara模型（綠色點劃線）以作對比。實驗使用Ecoflex 00-30軟球體樣品。
大變形壓扁接觸問題中，材料非線性、接觸條件、幾何非線性三大效應是最可能導致傳統小變形理論失效的主要原因。本研究研究還通過有限元分析揭示了壓扁問題中，材料非線性和接觸條件非線性僅具有次要的影響；揭示了幾何非線性對球體大變形壓扁問題的力學行為偏離Hertz理論的預測起到了決定性作用，結果如圖3所示。
圖3 壓扁問題中非線性效應的分析。(a) 材料非線性對接觸力的影響。灰色虛線表示Hertz理論的預測結果，而帶有散點的曲線表示不同本構模型下的有限元分析結果（橙色圓形：線彈性（L-E）模型，藍色方塊：neo-Hookean（N-H）模型，綠色三角形：Arruda-Boyce（A-B）模型）。插圖展示了各本構模型在單軸壓縮下的應力-應變曲線。(b) 接觸條件對接觸力的影響。有限元分析結果分別給出了無摩擦（橙色圓形）和無滑移（藍色方形）條件下的接觸力，同時也展示了Hertz理論的預測（灰色虛線）。(c) 彈性球體在（i）小壓縮比（δ/R = 0.1）和（ii）大壓縮比（δ/R = 0.3）情況下的von Mises應力分布。放大圖突出顯示了接觸區域附近的應力分布，并與Hertz理論的預測進行比較。對于相對較小的變形（如δ/R = 0.1），有限元分析結果與Hertz理論吻合良好。然而，對于相對較大的壓縮變形（如δ/R = 0.3），有限元分析結果與Hertz理論之間存在顯著偏差，表明幾何非線性在壓扁問題中對應力分布有顯著影響。
本研究在理論、模擬與實驗三個層面建立了一個完整的分析體系，為軟彈性球體在極端變形下的接觸力學提出了具通用性和解析形式的理論框架。這些成果不僅填補了Hertz理論在大壓縮情形下的空白，也為軟彈體器件、細胞操作平臺、微型傳感器等結構設計提供了新工具和設計準則。
哈爾濱工業大學博士生（新加坡南洋理工大學訪問博士生）穆童為論文第一作者；新加坡南洋理工大學博士后研究員令狐昌鴻、校長講席教授夏焜、哈爾濱工業大學冷勁松院士為論文共同通訊作者；其他作者包括上海交通大學博士生李若章、清華大學高華健院士。
原文鏈接：https://doi.org/10.1016/j.jmps.2025.106229
作者簡介：
穆童
哈爾濱工業大學博士研究生（導師冷勁松院士），新加坡南洋理工大學訪問博士生（導師夏焜教授）。主要從事智能材料力學行為與智能材料結構設計研究。研究工作包括形狀記憶聚合物及其復合材料的熱-力學行為建模、液晶彈性體復合材料結構設計、智能軟材料接觸力學及其應用等。擁有中國國家發明專利3項；發表專著章節1章；在 JMPS、Composites Science and Technology、Composites Part B、Composites Part A等期刊發表論文10余篇，被引400余次。
令狐昌鴻博士
新加坡南洋理工大學博士后研究員（導師高華健院士和夏焜校長講席教授）。
浙江大學工程力學學士（導師宋吉舟教授、王高峰教授）和固體力學碩士（導師宋吉舟教授）、新加坡南洋理工大學固體力學博士（導師高華建院士和夏焜校長講席教授）。長期致力于智能界面粘附力學及其應用、軟物質力學、斷裂力學研究。研究主要基于界面力學、物理和化學原理，揭示不同條件下界面粘附強度強弱控制的機理，探索界面粘附強度調控的規律；并基于此，利用智能材料和結構設計，研發自適應界面粘附系統，集成并應用于機器人、機械手、無人機、智能可穿戴、柔性電子器件、微納組裝、巨量微轉移、生物醫療、超材料、航空航天航海等領域。在JMPS、EML、IJSS、PNAS、National Science Review、Science Advances、Nature Communications、npj Flexible Electronics、Advanced Functional Materials、Soft Matter等國際知名期刊上發表SCI論文30多篇，于Elsevier發表專著一章。授權中國國家發明專利7項，實用新型專利6項，申請國際專利2項。同時，擔任Int. J. Smart. Nano. Mater.、SmartBot、Additive Manufacturing等國際期刊的青年編委，以及JMPS、Sci. Adv.、Adv. Funct. Mat.、Adv. Intell. Syst.、Adv. Robot. Res.、EML、IJMS 、Research、The Innovation 等十多本SCI期刊的審稿人。
